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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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8. Encontrar todos los x∈[0;2π]x \in[0 ; 2 \pi] tales que
a) sen⁡(x)=−12\operatorname{sen}(x)=-\frac{1}{2}

Respuesta

Este ejercicio se resuelve exactamente igual que el anterior.


1. Buscamos en la circunferencia los valores de xx que cumplen dicha condición:


1.1. Definimos los cuadrantes:

El seno de xx es igual a −12-\frac{1}{2} es negativo, así que los valores corresponden al tercer y cuarto cuadrantes.



1.2 Buscamos los valores de xx: 

Al trazar una recta horizontal en y=−12y = -\frac{1}{2}, hallamos los puntos donde esta recta intersecta la circunferencia unitaria en los cuadrantes señalados:
x1=−16πx_1 = -\frac{1}{6}\pi, como el valor en el cuarto cuadrante. 
x2=−56πx_2 = -\frac{5}{6}\pi, como el valor en el tercer cuadrante. 




2. Revisamos que los puntos estén dentro del intervalo indicado:

x1=−16πx_1 = -\frac{1}{6}\pi →\rightarrow ✘ (no entra en el intervalo) x2=−56πx_2 = -\frac{5}{6}\pi →\rightarrow ✘ (no entra en el intervalo)

Como los valores no están dentro del intervalo [0,2π][0, 2\pi], voy a reescibir los valores de x1x_1 y x2x_2 de forma general, es decir, todas las soluciones infinitas posibles, agregándoles el término "+2πk+ 2\pi k"


2.1. Escribo las soluciones infinitas:

x1=−16π+2πkx_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi k x2=−56π+2πkx_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi k


2.2. Escribo el intervalo en función de las soluciones obtenidas:

Estamos trabajando con sextos de π\pi, por lo que [0,2π]=[0, 2\pi] = [0⋅66,2⋅66]=[0\cdot \frac{6}{6}, 2\cdot \frac{6}{6}]= [0,126][0, \frac{12}{6}]

Entonces, podeemos reescribir el intervalo como [0,126][0, \frac{12}{6}]



2.3. Evalúo las soluciones para diferentes valores de k:



-> Para los valores de x1x_1:


Con k=0k=0 
x1=−16π+2π0x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi 0
-> x1=−16πx_1 = -\frac{1}{6}\pi ✘ (no entra en el intervalo, es un valor menor)

Con k=1k=1 
x1=−16π+2π1x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi 1
x1=−16π+2πx_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi
-> x1=116πx_1 = \frac{11}{6}\pi ✔ (entra en el intervalo)

Con k=2k=2 
x1=−16π+2π2x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi 2
x1=−16π+4πx_1 = -\frac{1}{6}\pi + 4\pi
-> x1=236πx_1 = \frac{23}{6}\pi ✘ (no entra en el intervalo, es un valor mayor)



-> Para los valores de x2x_2:


Con k=0k=0 
x2=−56π+2π0x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi 0
-> x2=−56π+2πx_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi ✘ (no entra en el intervalo, es un valor menor)

Con k=1k=1 
x2=−56π+2π1x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi 1
x2=−56π+2πx_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi
-> x2=76πx_2 = \frac{7}{6}\pi ✔ (entra en el intervalo)

Con k=2k=2 
x2=−56π+2π2x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi 2
x2=−56π+4πx_2 = -\frac{5}{6}\pi + 4\pi
-> x2=196πx_2 = \frac{19}{6}\pi ✘ (no entra en el intervalo, es un valor mayor)



Por lo tanto, los valores de xx en [0,2π][0, 2\pi] que cumplen con sen(x)=−12\text{sen}(x) = -\frac{1}{2} son: • x=7π6x = \frac{7\pi}{6} 
• x=11π6x = \frac{11\pi}{6}


Solución: {7π6;11π6}\left\{ \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6} \right\}
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Emilia
16 de octubre 14:29
Hola profe, yo cuando busque en la circunferencia los valores de x, lo hice de manera anti-horario, pero igual despues evalue las soluciones con distintos valores de k, es una manera valida de resolver el problema? 
0 Responder
Emilia
16 de octubre 14:31
Respuesta correcta
@Emilia adjunto una foto de como resolvi por si no me explique bien je2024-10-16%2014:31:19_2794981.png
1 Responder
Julieta
PROFE
16 de octubre 15:03
@Emilia Emi, qué prolijidad hermosa! Sí, es exactamente lo mismo hacerlo en sentido horario o antihorario. 
1 Responder