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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8.
Encontrar todos los $x \in[0 ; 2 \pi]$ tales que
a) $\operatorname{sen}(x)=-\frac{1}{2}$
a) $\operatorname{sen}(x)=-\frac{1}{2}$
Respuesta
Este ejercicio se resuelve exactamente igual que el anterior.
-> Para los valores de $x_1$:
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1. Buscamos en la circunferencia los valores de $x$ que cumplen dicha condición:
1.1. Definimos los cuadrantes:
El seno de $x$ es igual a $-\frac{1}{2}$ es negativo, así que los valores corresponden al tercer y cuarto cuadrantes.
1.2 Buscamos los valores de $x$:
Al trazar una recta horizontal en $y = -\frac{1}{2}$, hallamos los puntos donde esta recta intersecta la circunferencia unitaria en los cuadrantes señalados:
$x_1 = -\frac{1}{6}\pi$, como el valor en el cuarto cuadrante.
$x_2 = -\frac{5}{6}\pi$, como el valor en el tercer cuadrante.
2. Revisamos que los puntos estén dentro del intervalo indicado:
$x_1 = -\frac{1}{6}\pi$ $\rightarrow$ ✘ (no entra en el intervalo)
$x_2 = -\frac{5}{6}\pi$ $\rightarrow$ ✘ (no entra en el intervalo)
Como los valores no están dentro del intervalo $[0, 2\pi]$, voy a reescibir los valores de $x_1$ y $x_2$ de forma general, es decir, todas las soluciones infinitas posibles, agregándoles el término "$+ 2\pi k$"
2.1. Escribo las soluciones infinitas:
$x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi k$
$x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi k$
2.2. Escribo el intervalo en función de las soluciones obtenidas:
Estamos trabajando con sextos de $\pi$, por lo que $[0, 2\pi] =$ $[0\cdot \frac{6}{6}, 2\cdot \frac{6}{6}]=$ $[0, \frac{12}{6}]$
Entonces, podeemos reescribir el intervalo como $[0, \frac{12}{6}]$
2.3. Evalúo las soluciones para diferentes valores de k:
-> Para los valores de $x_1$:
Con $k=0$
$x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi 0$
-> $x_1 = -\frac{1}{6}\pi$ ✘ (no entra en el intervalo, es un valor menor)
Con $k=1$
$x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi 1$
$x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi$
-> $x_1 = \frac{11}{6}\pi$ ✔ (entra en el intervalo)
Con $k=2$
$x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 2\pi 2$
$x_1 = -\frac{1}{6}\pi + 4\pi$
-> $x_1 = \frac{23}{6}\pi$ ✘ (no entra en el intervalo, es un valor mayor)
-> Para los valores de $x_2$:
Con $k=0$
$x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi 0$
-> $x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi$ ✘ (no entra en el intervalo, es un valor menor)
Con $k=1$
$x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi 1$
$x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi$
-> $x_2 = \frac{7}{6}\pi$ ✔ (entra en el intervalo)
Con $k=2$
$x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 2\pi 2$
$x_2 = -\frac{5}{6}\pi + 4\pi$
-> $x_2 = \frac{19}{6}\pi$ ✘ (no entra en el intervalo, es un valor mayor)
Por lo tanto, los valores de $x$ en $[0, 2\pi]$ que cumplen con $\text{sen}(x) = -\frac{1}{2}$ son:
• $x = \frac{7\pi}{6}$
• $x = \frac{11\pi}{6}$
Solución: $\left\{ \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6} \right\}$